A szabályos négyoldalú gúla

 

 

A szabályos négyoldalú gúla egy olyan gúla, aminek az alaplapja egy négyzet, és a testmagasság talppontja a négyzet átlóinak a metszéspontjába esik.

 

 

 

 

 

a : alapél

 

b : oldalél

 

mo: oldalmagasság

 

M : testmagasság

 


a : az oldallap és az alaplap hajlásszöge

 

b : az oldalél és az alapél hajlásszöge

 

g : az oldalél és az alaplap hajlásszöge

 

d : a két oldallap hajlásszöge

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Feladatok:

 

Súgó: Jelöld meg színessel a rajzon, hogy mi van megadva (Pl. kék), egy másik színnel (Pl. piros), azt amit keresel és keress derékszögű háromszögeket!

 

1. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 14 cm, az oldalélek hossza 20 cm. Mekkora a gúla felszíne és a térfogata?

 

b = 20 cm

a = 14 cm

               

 

 

Az FCE derékszögű háromszögből kiszámolhatjuk az oldalmagasságot:

 

 

 

 

 

 

A TFE derékszögű háromszögből kiszámolhatjuk a testmagasságot:

 

 

 

 

 

    

 

     A felszín: négyzet + a 4 db egybevágó háromszög

 

    

 

Másik megoldás:

 

 

2. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 20 cm, magassága 18 cm. Mekkora a gúla térfogata? Mekkora a gúla felszíne? Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplap síkjával?

 

 

 

A TFE derékszögű háromszögből kiszámolhatjuk az oldalmagasságot, és a hajlásszöget:

 

 

 

    

 

 

     A felszín: A négyzet területe + a 4 db egybevágó oldalháromszög területe:

 

                                                                          

 

 

3. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 12 cm, az oldallapok az alaplappal 60°-os szöget zárnak be. Mekkora a gúla felszíne és térfogata?

    

 

 

                                                               Na hol nem vettünk észre egy egyenlő oldalú háromszöget?

 

 

 

4. Szabályos négyoldalú gúla oldallapjai szabályos háromszögek, térfogatuk 408 cm3. Mekkora az alapéle?

 

               

 

 

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az ATE derékszögű háromszögre!

 

 

 

 

5. Egy szabályos négyoldalú gúla minden éle a hosszúságú. Mekkora a felszíne, térfogata, és mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal?

 

               

 

 

 

 

 

 

 

6. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 40 cm, magassága 21 cm. Mekkora a gúla térfogata és felszíne? Mekkorák az oldalélei? Mekkora szöget zár be az oldallap az alaplappal.

 

 

    

 

7. Egy szabályos négyoldalú gúla térfogata 49,8 m3, magassága feleakkora, mint az alaplap átlója. Mekkora a felszíne?

 

    

 

    

 

9. Egy szabályos négyoldalú gúla alapélei 46 cm-esek, az oldallapok 120°-os szöget zárnak be egymással. Mekkora a gúla magassága és az oldallapok területe?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Vegyük a kékkel jelölt háromszöget! Egyenlőszárú a háromszög, a szárszöge 120°. Az alapja a négyzet átlója:

 

Az x pont az oldalháromszög oldalélhez tartozó magassága.

 

 

 

 

 

Ettől kezdve remélem sikerül befejezni a feladatot! J

 

 

 

 

 

 

 

10. Menj fel a netre! Szerezd meg a legnagyobb egyiptomi piramis méreteit! Számítsd ki a térfogatát és a felszínét! Hány teherautónyi követ építettek bele, ha egy teherautó 8 m3 követ szállít?

 

11. Egy tornyot szeretnénk építeni. Az alapja 3x3m-es négyzet, a magassága 18 m. Hány m3 téglából tudjuk felépíteni, ha a falvastagsága 50 cm? Nézz utána a neten, hogy milyen téglából érdemes építeni, hány db kell belőle, és hogy mennyibe kerül a tégla, ha 10 % veszteséggel számolunk? Hány tábla rézlemez kell a befedéséhez, ha egy lemez 2 m x 1m-es? A tető gúla alakú, a túlnyúlása nincs, és az oldallap 70 fokos szöget zár be az alaplappal? A lemeznél 30 % veszteséggel számolunk.

 

12. Egy a élhosszúságú és m magasságú szabályos négyoldalú gúlába írjon bele egy olyan kockát, amelynek egyik lapja a gúla alaplapján, négy csúcsa pedig az oldallappok egy-egy lapmagasságán legyen! Mekkora a kocka éle?

Vegyük az oldalfelező pontokon átmenő tengelymetszetet!

    

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


MNE ~F1TE , mert két szögük megegyezik. A hasonló háromszögek megfelelő oldalainak aránya megegyezik.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Egy a élhosszúságú kocka minden lapközéppontját kössük össze a szomszédos lapközéppontokkal, így egy szabályos oktaéder élhálózatát kapjuk! Mekkora az ehhez tartozó szabályos oktaéder felszíne és térfogata?

 

                   x az oktaéder oldaléle